Giải tích Ví dụ

$y = x \ln^{2} (3 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln^{2} (3 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (3 x)] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (3 x)$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (3 x)$ .

$x (2 \ln (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{3 x}$ và $2$ .

$x (\frac{2}{3 x} \ln (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3 x}$ và $\ln (3 x)$ .

$x (\frac{2 \ln (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2.2

Kết hợp $\frac{2 \ln (3 x)}{3 x}$ và $x$ .

$\frac{2 \ln (3 x) x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \ln (3 x) x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \ln (3 x)}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \ln (3 x)}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2 \ln (3 x)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6 \ln (3 x)}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 \ln (3 x)$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \ln (3 x)}{1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.3.2.4

Chia $2 \ln (3 x)$ cho $1$ .

$2 \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \ln (3 x) \cdot 1 + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.6

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x) \cdot 1$

Bước 4.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Nhân $\ln^{2} (3 x)$ với $1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x)$

Bước 4.8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln^{2} (3 x) + 2 \ln (3 x)$