Giải tích Ví dụ

$y = x \sin (\frac{3}{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (\frac{3}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3}{x})] + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{3}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{3}{x}$ .

$x (\cos (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x (\cos (\frac{3}{x}) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$x (\cos (\frac{3}{x}) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x (\cos (\frac{3}{x}) (3 (- x^{- 2}))) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x (\cos (\frac{3}{x}) (- 3 x^{- 2})) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{3}{x}) \cdot (- 3)) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{3}{x}) \cdot (- 3)) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $- 2$ và $1$ .

$x^{- 1} (\cos (\frac{3}{x}) \cdot (- 3)) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $\cos (\frac{3}{x})$ .

$x^{- 1} (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{x})) + \sin (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{- 1} (- 3 \cos (\frac{3}{x})) + \sin (\frac{3}{x}) \cdot 1$

Bước 8

Nhân $\sin (\frac{3}{x})$ với $1$ .

$x^{- 1} (- 3 \cos (\frac{3}{x})) + \sin (\frac{3}{x})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- 3 \cos (\frac{3}{x})) + \sin (\frac{3}{x})$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} \cos (\frac{3}{x}) + \sin (\frac{3}{x})$

Bước 9.2.2

Kết hợp $\frac{- 3}{x}$ và $\cos (\frac{3}{x})$ .

$\frac{- 3 \cos (\frac{3}{x})}{x} + \sin (\frac{3}{x})$

Bước 9.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 \cos (\frac{3}{x})}{x} + \sin (\frac{3}{x})$