Giải tích Ví dụ

$y = x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{a}{x}$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$1 + a \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{b}{x^{3}}$ đối với $x$ là $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Bước 3.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Bước 3.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Bước 3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{2 - 6})$

Bước 3.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 4})$

Bước 3.8

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) + 3 b x^{- 4}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b x^{- 4}$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp $a$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

Bước 4.3.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + b \frac{3}{x^{4}}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $b$ và $\frac{3}{x^{4}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{b \cdot 3}{x^{4}}$

Bước 4.3.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $b$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}} + 1$