Giải tích Ví dụ

$y = x + \sqrt{1 + x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \sqrt{1 + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x)$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x)$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x)$

Bước 2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x)$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x)$

Bước 2.11

Cộng $0$ và $2 x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Bước 2.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Bước 2.13

Kết hợp $2$ và $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x$

Bước 2.14

Kết hợp $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Bước 2.15

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.16

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.17

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 1$