Giải tích Ví dụ

$\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $7 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ đối với $y$ là $7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$

Bước 1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ ở dạng ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}]$

Bước 1.2.2

Nhân các số mũ trong ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{2 \cdot - 1}]$

Bước 1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{- 2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{- 2}$ và $g (y) = 7 x + 13 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$7 x^{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (- 2 {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 2$ với $7$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x + 13 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Bước 3.3

Vì $7 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $7 x$ đối với $y$ là $0$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [13 y])$

Bước 3.5

Vì $13$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $13 y$ đối với $y$ là $13 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (13 \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển $13$ sang phía bên trái của ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ .

$- 14 x^{2} (13 \cdot {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.6.2

Nhân $13$ với $- 14$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \cdot 1)$

Bước 3.8

Nhân ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ với $1$ .

$- 182 x^{2} {(7 x + 13 y)}^{- 3}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 182 x^{2} \frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $- 182$ và $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$x^{2} \frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Bước 4.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Bước 4.2.3

Di chuyển $- 182$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{- 182 \cdot x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Bước 4.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{182 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$