Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{x - y}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{x - y}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{1}{x - y}$ ở dạng ${(x - y)}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{- 1}$ và $g (y) = x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x - y])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - y$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]))$

Bước 3.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [- y]))$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [- y])$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 3.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (1 {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.5.2

Nhân ${(x - y)}^{- 2}$ với $1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân ${(x - y)}^{- 2}$ với $1$ .

$x {(x - y)}^{- 2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 4.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{{(x - y)}^{2}}$ .

$\frac{x}{{(x - y)}^{2}}$