Giải tích Ví dụ

$\frac{x y}{3 x + 8 y}$

Bước 1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x y}{3 x + 8 y}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = 3 x + 8 y$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $3 x + 8 y$ với $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 8 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $3 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3 x$ đối với $y$ là $0$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (0 + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.6

Vì $8$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $8 y$ đối với $y$ là $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (8 \frac{d}{d y} [y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.7

Nhân $8$ với $- 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \frac{d}{d y} [y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \cdot 1}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 8$ với $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.9.2

Trừ $8 y$ khỏi $8 y$ .

$x \frac{3 x + 0}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.9.3

Cộng $3 x$ và $0$ .

$x \frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 3.9.4

Kết hợp $x$ và $\frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$ .

$\frac{x (3 x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{1})}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{1 + 1}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$