Giải tích Ví dụ

$x e^{\frac{x}{y}}$

Bước 1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x e^{\frac{x}{y}}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{y}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{y}$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Bước 3

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{y}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Bước 4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $1$ và $1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Bước 7.2

Viết lại $\frac{1}{y}$ ở dạng $y^{- 1}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- y^{- 2}))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- \frac{1}{y^{2}}))$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $e^{\frac{x}{y}}$ và $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}})$

Bước 9.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$