Giải tích Ví dụ

$\frac{x - y}{x + y}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = x - y$ và $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x + y$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.6.3

Viết lại $- 1 (x + y)$ ở dạng $- (x + y)$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 2.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- x - y - x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $- y$ và $y$ .

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- x - x$ và $0$ .

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$