Giải tích Ví dụ

$\frac{(x + 2) (2 x - 5)}{x}$

Bước 1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

Bước 2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

Bước 3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Bước 4

Rút gọn bằng cách giao hoán.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $x$ và $- 5$ .

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x - 5 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{2 (x^{1} x) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Bước 6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{2 (x^{1} x^{1}) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{2 x^{1 + 1} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Bước 8.3

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x - 10}{x} d x$

Bước 9

Cộng $- 5 x$ và $4 x$ .

$\int \frac{2 x^{2} - x - 10}{x} d x$

Bước 10

Chia $2 x^{2} - x - 10$ cho $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$10$

Bước 10.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$2 x$
	$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$

Bước 10.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			+	$2 x^{2}$	+	$0$

Bước 10.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 x^{2} + 0$

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$

Bước 10.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

Bước 10.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

Bước 10.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

Bước 10.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					-	$x$	+	$0$

Bước 10.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- x + 0$

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$

Bước 10.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$
							-	$10$

Bước 10.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 2 x - 1 - \frac{10}{x} d x$

Bước 11

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Bước 12

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Bước 14

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

Bước 16

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{10}{x} d x$

Bước 17

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 18

Nhân $10$ với $- 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 19

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 (\ln (| x |) + C)$

Bước 20

Rút gọn.

$x^{2} - x - 10 \ln (| x |) + C$