Giải tích Ví dụ

$\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{\sqrt{y^{2} + 1}})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y^{2} + 1}$ ở dạng ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 4

Nhân $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}}$ với $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = {(2 y + 1)}^{3}$ và $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{3}] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6

Nhân các số mũ trong ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

Bước 7

Rút gọn.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{3}] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{3}$ và $g (y) = 2 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 y + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 y + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 9.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 9.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 9.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 9.5

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 9.6

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 + 0) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 9.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} \cdot 2 - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 9.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ và $g (y) = y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $y^{2} + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 10.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 10.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $y^{2} + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 14.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 15

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 15.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 15.3

Di chuyển ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Bước 15.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]}{y^{2} + 1}$

Bước 16

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

Bước 17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

Bước 18

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + 0)}{y^{2} + 1}$

Bước 19

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Cộng $2 y$ và $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{y^{2} + 1}$

Bước 19.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - 2 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

Bước 19.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

Bước 19.4

Kết hợp $\frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $y$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3} y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 19.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 {(2 y + 1)}^{3} y$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 20

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{y^{2} + 1}$

Bước 20.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 20.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 21

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 22

Để viết $6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 24

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Di chuyển ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 24.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 24.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 24.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 24.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 25

Rút gọn $6 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Bước 26

Viết lại $\frac{\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$ ở dạng một tích.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} (\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1})$

Bước 27

Nhân $\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}$

Bước 28

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $y^{2} + 1$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1.1

Nâng $y^{2} + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

Bước 28.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Bước 28.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 28.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Bước 28.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 29

Nhân $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}}$ với $\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y)}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 30

Di chuyển ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 31

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ với ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1.1

Di chuyển ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} ({(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 31.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Bước 31.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Bước 31.1.4

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 31.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

Bước 31.2

Rút gọn ${(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.1

Đưa ${(2 y + 1)}^{2}$ ra ngoài $(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.1.1

Đưa ${(2 y + 1)}^{2}$ ra ngoài $(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.1.2

Đưa ${(2 y + 1)}^{2}$ ra ngoài $- {(2 y + 1)}^{3} y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{2} (- (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.1.3

Đưa ${(2 y + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{2} (- (2 y + 1) y)$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.2

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- (2 y) - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- 2 y - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- 2 y - 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y \cdot y - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.7

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.7.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 (y \cdot y) - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.7.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y^{2} - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.8

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y^{2} - y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.9

Trừ $2 y^{2}$ khỏi $6 y^{2}$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} + 6 - y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.2.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Bước 32.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.3.1

Đưa ${(2 y + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{2} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

Bước 32.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{2} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

Bước 32.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 y^{2} - y + 6}{(2 y + 1) (y^{2} + 1)}$