Giải tích Ví dụ

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \arctan (y)$ và $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = x + y$ và $g (y) = 1 - x y$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.5

Nhân $1 - x y$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.9

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.10.2

Nhân $x + y$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $x + y$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

Bước 3.12.2

Nhân $\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ với $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 - x y + x \cdot x + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Cộng $- x y$ và $x y$ .

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Bước 4.3.1.2

Cộng $1 + x \cdot x$ và $0$ .

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

Bước 4.4.3

Kết hợp $\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ và ${(1 - x y)}^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Bước 4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 - x y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Bước 4.4.4.2

Chia ${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ cho $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Viết lại ${(1 - x y)}^{2}$ ở dạng $(1 - x y) (1 - x y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.2

Khai triển $(1 - x y) (1 - x y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.1.2

Nhân $- x y$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.1.5

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1.5.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.1.5.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.1.6

Nhân $- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.1.6.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.3.2

Trừ $x y$ khỏi $- x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Bước 4.6.4

Viết lại ${(x + y)}^{2}$ ở dạng $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

Bước 4.6.5

Khai triển $(x + y) (x + y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

Bước 4.6.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

Bước 4.6.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

Bước 4.6.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.6.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

Bước 4.6.6.1.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

Bước 4.6.6.2

Cộng $x y$ và $y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.6.2.1

Sắp xếp lại $y$ và $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

Bước 4.6.6.2.2

Cộng $x y$ và $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Bước 4.6.7

Cộng $- 2 x y$ và $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

Bước 4.6.8

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

Bước 4.6.9

Viết lại $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.9.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.9.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

Bước 4.6.9.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

Bước 4.6.9.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $y^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 4.7

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Bước 4.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$