Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\frac{1}{z - 1}$ ở dạng ${(z - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ là $f' (g (z)) g' (z)$ trong đó $f (z) = z^{- 1}$ và $g (z) = z - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $z - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $z - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z - 1$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $z$ là $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ là $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ trong đó $f (z) = - 1$ và $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{z}$ ở dạng $z^{- 1}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Bước 3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $z$ là $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Bước 3.6

Nhân $z^{- 2}$ với $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Bước 3.7

Nhân $\frac{1}{z}$ với $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

Bước 3.8

Cộng $z^{- 2}$ và $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

Bước 4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

Bước 5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Bước 6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$