Giải tích Ví dụ

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ là $f' (g (z)) g' (z)$ trong đó $f (z) = \ln (z)$ và $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Bước 3

Nhân $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ với $1$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Bước 4

Vì $x^{40} y^{30}$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ đối với $z$ là $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x^{40}$ và $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Bước 5.2

Kết hợp $y^{30}$ và $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{30}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Bước 5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{40}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Bước 5.4.2

Chia $z^{20}$ cho $1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Bước 5.5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại $\frac{1}{z^{20}}$ ở dạng ${(z^{20})}^{- 1}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

Bước 5.5.2

Nhân các số mũ trong ${(z^{20})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

Bước 5.5.2.2

Nhân $20$ với $- 1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = - 20$ .

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

Bước 7

Nhân $z^{20}$ với $z^{- 21}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển $z^{- 21}$ .

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

Bước 7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

Bước 7.3

Cộng $- 21$ và $20$ .

$z^{- 1} \cdot - 20$

Bước 8

Di chuyển $- 20$ sang phía bên trái của $z^{- 1}$ .

$- 20 \cdot z^{- 1}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{z}$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $- 20$ và $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 20}{z}$

Bước 9.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{20}{z}$