Giải tích Ví dụ

$\sqrt{\frac{z - 9}{z + 9}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{z - 9}{z + 9}}$ ở dạng ${(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [{(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ là $f' (g (z)) g' (z)$ trong đó $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ và $g (z) = \frac{z - 9}{z + 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{z - 9}{z + 9}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{z - 9}{z + 9}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ là $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ trong đó $f (z) = z - 9$ và $g (z) = z + 9$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) \frac{d}{d z} [z - 9] - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z - 9$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 9]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 9]) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (1 + \frac{d}{d z} [- 9]) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.3

Vì $- 9$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $z$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (1 + 0) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) \cdot 1 - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.4.2

Nhân $z + 9$ với $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z + 9$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [9]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [9])}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (1 + \frac{d}{d z} [9])}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.7

Vì $9$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $9$ đối với $z$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (1 + 0)}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) \cdot 1}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2}}$

Bước 9.8.3

Nhân $\frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2} \cdot 2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.8.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(z + 9)}^{2}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 \cdot {(z + 9)}^{2}} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 {(z + 9)}^{2}} {(\frac{z + 9}{z - 9})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{z + 9}{z - 9}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{z + 9 - z - - 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$\frac{z + 9 - z + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.2

Trừ $z$ khỏi $z$ .

$\frac{0 + 9 + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.3

Cộng $0$ và $9$ .

$\frac{9 + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.4

Cộng $9$ và $9$ .

$\frac{18}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(z + 9)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 ({(z + 9)}^{2})} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.6

Nhân $\frac{9}{{(z + 9)}^{2}}$ với $\frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 {(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.7

Di chuyển ${(z + 9)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}} {(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.8

Nhân ${(z + 9)}^{2}$ với ${(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.8.1

Di chuyển ${(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2}} {(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.8.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.8.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.8.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.8.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.8.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.8.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.8.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{3}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$