Giải tích Ví dụ

$y = 4 \ln (x^{2} e^{x})$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \ln (x^{2} e^{x})$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Bước 3

Kết hợp $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ và $4$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Bước 7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Bước 7.2.2

Kết hợp $\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ và $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Bước 7.2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Bước 7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Bước 7.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Bước 7.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Bước 7.2.5.2

Chia $4$ cho $1$ .

$4 + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Bước 7.2.6

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Bước 7.2.7

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{2 (e^{x} \cdot 4)}{x^{2} e^{x}} x$

Bước 7.2.8

Nhân $4$ với $2$ .

$4 + \frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Bước 7.2.9

Kết hợp $\frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ và $x$ .

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Bước 7.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Bước 7.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$4 + \frac{8 x}{x^{2}}$

Bước 7.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.11.1

Đưa $x$ ra ngoài $8 x$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}}$

Bước 7.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.11.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Bước 7.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Bước 7.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 + \frac{8}{x}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8}{x} + 4$