Giải tích Ví dụ

$y = 4 x e^{3 x^{4}}$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x e^{3 x^{4}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x^{4}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{3 x^{4}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x^{4}}] + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{4}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{4}$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (3 (4 x^{3}))) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Nhân $4$ với $3$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (12 x^{3})) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (x^{3} x^{1} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (x^{3 + 1} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $3$ và $1$ .

$4 (x^{4} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $e^{3 x^{4}}$ .

$4 (x^{4} (12 \cdot e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}} \cdot 1)$

Bước 9

Nhân $e^{3 x^{4}}$ với $1$ .

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}})) + 4 e^{3 x^{4}}$

Bước 10.2

Nhân $12$ với $4$ .

$48 x^{4} e^{3 x^{4}} + 4 e^{3 x^{4}}$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$48 e^{3 x^{4}} x^{4} + 4 e^{3 x^{4}}$

Bước 10.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $48 e^{3 x^{4}} x^{4} + 4 e^{3 x^{4}}$ .

$48 x^{4} e^{3 x^{4}} + 4 e^{3 x^{4}}$