Giải tích Ví dụ

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{4}{x}$ với $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{4}{x}$ và $x^{2}$ .

$5 (\frac{4 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{4 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.3.2.5

Chia $4 x$ cho $1$ .

$5 (4 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (4 x (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{4}{4}$ và $x$ .

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 9

Nhân $x$ với $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Bước 11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$