Giải tích Ví dụ

$y = 2 x \log (\sqrt{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \log (x^{\frac{1}{2}})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \log (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\log (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$2 (x (\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ và $x$ .

$2 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 (\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 13

Nhân $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)}$ với $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14.4

Chia $0$ cho $2$ .

$2 (\frac{x^{0}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 15

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn $x^{0}$ .

$2 (\frac{1}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 15.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (10)$ .

$2 (\frac{1}{2 \cdot \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Bước 17

Nhân $\log (x^{\frac{1}{2}})$ với $1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}))$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{1}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 18.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 \ln (10)}$ .

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 18.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 18.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \log (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\ln (10)}$