Giải tích Ví dụ

$y = 2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Bước 2.5

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Bước 4.2

Cộng $2 x \cos (x)$ và $\cos (x) (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x))$

Bước 4.2.2

Cộng $2 x \cos (x)$ và $2 x \cos (x)$ .

$4 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x))$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 x \cos (x) - x^{2} \sin (x) + 2 \sin (x)$