Giải tích Ví dụ

$y = 3 \arctan (x + \sqrt{1 + x^{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 \arctan (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \arctan (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\arctan (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ và $3$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x^{2}$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 9.3

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 12

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Bước 14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 14.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 14.5

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{3}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$