Giải tích Ví dụ

$y = 3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{4 x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$3 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2.5

Nhân $4$ với $1$ .

$3 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2.6

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 x}$ .

$3 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 2.7

Nhân $4$ với $3$ .

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{5} (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $7 x$ .

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\log_{5} (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\log_{5} (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2} \ln (5)}$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{u_{2} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $7 x$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 3.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \cdot 1)$

Bước 3.4

Nhân $7$ với $1$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \cdot 7$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{1}{7 x \ln (5)}$ và $7$ .

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

Bước 3.6.2

Viết lại biểu thức.

$12 e^{4 x} + \frac{1}{x \ln (5)}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x \ln (5)} + 12 e^{4 x}$