Giải tích Ví dụ

$y = 3 (\cos (x) + \sin (x)) \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x) + \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x) - \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)] + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Bước 3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Bước 6

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 9

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x))) + 3 ((\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

Bước 10.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x))$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(3 (- \sin (x)) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$(- 3 \sin (x) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.4

Khai triển $(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 3 \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.5.1.1

Nhân $- 3 \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.5.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.1.2

Nhân $- 3 \cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.5.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 3 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.5.3

Trừ $3 \cos (x) \sin (x)$ khỏi $- 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.6

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.7

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.8

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x))$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.9

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.10

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (3 (- \sin (x)) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.12

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.13

Khai triển $(- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 10.4.13.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.14.1.1

Nhân $- 3 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.14.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.1.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.2

Nhân $3 \cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.14.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 10.4.14.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

Bước 10.4.14.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 3 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

Bước 10.4.14.3

Trừ $3 \cos (x) \sin (x)$ khỏi $- 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Bước 10.4.15

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Bước 10.4.16

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$

Bước 10.4.17

Đưa $3$ ra ngoài $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 10.4.18

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1$

Bước 10.4.19

Nhân $3$ với $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$

Bước 10.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

Bước 10.5.2

Cộng $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$ và $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$

Bước 10.6

Trừ $6 \cos (x) \sin (x)$ khỏi $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x)$