Giải tích Ví dụ

$y = 2 x^{3} - \sqrt{x} + \sec (x) - \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} - \sqrt{x} + \sec (x) - \frac{2}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 3.10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{x^{2}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Bước 5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Bước 5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Bước 5.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Bước 5.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Bước 5.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Bước 5.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Bước 5.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) - 2 (- 2 x^{- 3})$

Bước 5.10

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + 4 x^{- 3}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Bước 6.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sec (x) \tan (x) + \frac{4}{x^{3}}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 x^{2} + \sec (x) \tan (x) + \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$