Giải tích Ví dụ

$y = 8 x^{3} e^{- x}$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{3} e^{- x}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$8 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$8 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$8 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$8 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$8 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$8 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$8 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$8 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{3} (- e^{- x})) + 8 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 (x^{3} (e^{- x})) + 8 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $8$ .

$- 8 x^{3} e^{- x} + 24 e^{- x} x^{2}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 8 e^{- x} x^{3} + 24 e^{- x} x^{2}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 8 e^{- x} x^{3} + 24 e^{- x} x^{2}$ .

$- 8 x^{3} e^{- x} + 24 x^{2} e^{- x}$