Giải tích Ví dụ

$y = 8 x^{2} \cos (x) \cot (x)$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2} \cos (x) \cot (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} \cos (x)$ và $g (x) = \cot (x)$ .

$8 (x^{2} \cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x))) + \cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 8 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Bước 7.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 (x^{2} \cos (x) (\csc^{2} (x))) + 8 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Bước 7.3.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 8 (\cot (x) x^{2} (\sin (x))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Bước 7.3.3

Nhân $2$ với $8$ .

$- 8 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 8 \cot (x) x^{2} \sin (x) + 16 \cot (x) \cos (x) x$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 8 x^{2} \csc^{2} (x) \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$- 8 x^{2} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 8 x^{2} \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 8 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.4

Nhân $- 8 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.1

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$x^{2} \frac{- 8}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.4.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{- 8}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 8}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.5

Di chuyển $- 8$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{- 8 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.7

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{8 x^{2}}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) (8 x^{2})}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.8

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$- \frac{8 \cdot \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.9

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.9.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} (\cot (x) \sin (x)) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.9.2

Viết lại $- 8 x^{2} \cot (x) \sin (x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.9.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

Bước 7.5.10

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.5.11

Nhân $16 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.11.1

Kết hợp $16$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + x \cos (x) \frac{16 \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.5.11.2

Kết hợp $\frac{16 \cos (x)}{\sin (x)}$ và $x$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x)$

Bước 7.5.11.3

Kết hợp $\frac{16 \cos (x) x}{\sin (x)}$ và $\cos (x)$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 \cos (x) x \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.5.11.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.11.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.11.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Bước 7.5.11.7

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin (x) \sin (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.2

Tách các phân số.

$- (\frac{8 x^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$- (\frac{8 x^{2}}{\sin (x)} \cot (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.4

Kết hợp $\frac{8 x^{2}}{\sin (x)}$ và $\cot (x)$ .

$- \frac{8 x^{2} \cot (x)}{\sin (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.5

Tách các phân số.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.6

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.7

Viết lại $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ ở dạng một tích.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.8.1

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)})) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.8.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.9

Chia $8 x^{2}$ cho $1$ .

$- (8 x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.10

Nhân $8$ với $- 1$ .

$- 8 (x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.11

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.6.12

Tách các phân số.

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x))}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.6.13

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x))}{1} \cot (x)$

Bước 7.6.14

Chia $16 x (\cos (x))$ cho $1$ .

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x (\cos (x)) \cot (x)$

$- 8 x^{2} \cot (x) \csc (x) - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x (\cos (x)) \cot (x)$