Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{e^{2 x}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

Bước 4.5

Nhân $\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ với $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Bước 5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Bước 5.3.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

Bước 5.3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

Bước 5.3.4

Kết hợp $3$ và $\frac{e^{4 x}}{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

Bước 5.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Bước 5.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Bước 5.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Bước 5.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Bước 5.4.2

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Bước 5.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

Bước 5.4.4

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

Bước 5.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

Bước 5.6

Nhân $2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ và $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Bước 5.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Bước 5.6.3

Kết hợp $\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ và $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$