Giải tích Ví dụ

$y = \sin (2 x) \cos (3 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (2 x)$ và $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (2 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$\sin (2 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 3.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 5.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (3 x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + 2 \cdot (\cos (3 x) \cos (2 x))$

Bước 5.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 \sin (2 x) \sin (3 x) + 2 \cos (2 x) \cos (3 x)$