Giải tích Ví dụ

$y = \sec (2 x) \tan^{2} (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec (2 x)$ và $g (x) = \tan^{2} (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (2 x)$ .

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\sec (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (2 x)$ .

$\sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (2 x)$ .

$2 \cdot \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 5

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sec (2 x)}^{2 + 1} \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 7.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 7.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 7.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1 + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 7.5

Nhân $4$ với $1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 8.2

Đạo hàm của $\sec (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 9

Nhân $\tan^{2} (2 x)$ với $\tan (2 x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $\tan (2 x)$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 9.2

Nhân $\tan (2 x)$ với $\tan^{2} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 2} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 9.3

Cộng $1$ và $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $2$ với $1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2$

Bước 12.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$