Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\arctan (6 x + 3))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \arctan (6 x + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\arctan (6 x + 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\arctan (6 x + 3)$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = 6 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $6 x + 3$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $6 x + 3$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}}$ với $\frac{1}{\arctan (6 x + 3)}$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.3

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.5

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.6

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + 0)$

Bước 3.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Cộng $6$ và $0$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \cdot 6$

Bước 3.7.2

Kết hợp $\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$ và $6$ .

$\frac{6}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$

Bước 3.7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6}{\arctan (6 x + 3) (1 + {(6 x + 3)}^{2})}$