Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\sec (9 x) + \tan (9 x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sec (9 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (9 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $9$ với $1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) \cdot 9 + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Bước 4.3.2

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $\sec (9 x) \tan (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \cdot (\sec (9 x) \tan (9 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\tan (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) (9 \cdot 1))$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $9$ với $1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) \cdot 9)$

Bước 6.3.2

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \cdot \sec^{2} (9 x))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x))$ .

$(9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 \sec (9 x) \tan (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.3

Nhân $9 \sec (9 x) \tan (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp $\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ và $9$ .

$\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.3.2

Kết hợp $\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ và $\sec (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.3.3

Kết hợp $\frac{9 \sec (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ và $\tan (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.4

Nhân $9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Kết hợp $\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ và $9$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + \frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \sec^{2} (9 x)$

Bước 7.4.2

Kết hợp $\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ và $\sec^{2} (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + \frac{9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.6

Đưa $9 \sec (9 x)$ ra ngoài $9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $9 \sec (9 x)$ ra ngoài $9 \sec (9 x) \tan (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.6.2

Đưa $9 \sec (9 x)$ ra ngoài $9 \sec^{2} (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec (9 x) (\sec (9 x))}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Bước 7.6.3

Đưa $9 \sec (9 x)$ ra ngoài $9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec (9 x) (\sec (9 x))$ .

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x) + \sec (9 x))}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$