Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\sin (2 x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (2 x)}$ sang $\csc (2 x)$ .

$\csc (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$\csc (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\csc (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 4.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\csc (2 x) \cos (2 x)$ .

$2 \cdot (\csc (2 x) \cos (2 x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \csc (2 x) \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) \csc (2 x)$

Bước 5.2

Viết lại $\csc (2 x)$ theo sin và cosin.

$2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Bước 5.3

Nhân $2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $\frac{1}{\sin (2 x)}$ và $2$ .

$\frac{2}{\sin (2 x)} \cos (2 x)$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{2}{\sin (2 x)}$ và $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Bước 5.4

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Bước 5.5

Quy đổi từ $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ sang $\cot (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (2 x)$

Bước 5.6

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \cot (2 x)$