Giải tích Ví dụ

$y = \ln (4 x^{2}) \cdot (- x^{3} - 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \ln (4 x^{2})$ và $g (x) = - x^{3} - 4$ .

$\ln (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{3} - 4] + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\ln (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\ln (4 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\ln (4 x^{2}) (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Bước 2.5

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + 0) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Bước 2.6

Cộng $- 3 x^{2}$ và $0$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{2}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{4 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4 x^{2}}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Bước 4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x^{2}} x$

Bước 4.4.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Bước 4.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2 \cdot x}{x^{2}}$

Bước 4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Bước 4.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Bước 4.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Bước 4.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - x^{3} \frac{2}{x} - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $x^{3}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{3}}{x} - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x} - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{2}}{1} - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2.2.2.5

Chia $2 x^{2}$ cho $1$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - (2 x^{2}) - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - 4 \frac{2}{x}$

Bước 5.2.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{2}{x}$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{x}$

Bước 5.2.5

Nhân $- 4$ với $2$ .

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 8}{x}$

Bước 5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{8}{x}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 x^{2} - 3 x^{2} \ln (4 x^{2}) - \frac{8}{x}$