Giải tích Ví dụ

$y = \ln (10 x^{2 - 5 x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 10 x^{2 - 5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $10 x^{2 - 5 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $10 x^{2 - 5 x}$ .

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x^{2 - 5 x}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$ .

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} (10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}])$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $10$ và $\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Bước 2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Bước 3

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $x^{2 - 5 x}$ ở dạng $e^{\ln (x^{2 - 5 x})}$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 - 5 x})}]$

Bước 3.2

Khai triển $\ln (x^{2 - 5 x})$ bằng cách di chuyển $2 - 5 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{(2 - 5 x) \ln (x)}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = (2 - 5 x) \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $(2 - 5 x) \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $(2 - 5 x) \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{(2 - 5 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Bước 5

Kết hợp $e^{(2 - 5 x) \ln (x)}$ và $\frac{1}{x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 2 - 5 x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

Bước 7

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

Bước 8.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

Bước 8.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Bước 8.4

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 8.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \cdot 1))$

Bước 8.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 5)$

Bước 8.6.2

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $\ln (x)$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \cdot \ln (x))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (2 \frac{1}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Bước 9.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Bước 9.3.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + x \frac{- 5}{x} - 5 \ln (x))$

Bước 9.3.3

Kết hợp $x$ và $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x} - 5 \ln (x))$

Bước 9.3.4

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 \cdot x}{x} - 5 \ln (x))$

Bước 9.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x))$

Bước 9.3.5.2

Chia $- 5$ cho $1$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$

Bước 9.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$ .

$(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) \frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.5

Nhân $\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)$ với $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Để viết $- 5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.6.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.6.4

Để viết $- 5 \ln (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x) \cdot \frac{x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.6.5

Kết hợp $- 5 \ln (x)$ và $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} + \frac{- 5 \ln (x) x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.6.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x} e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.7

Kết hợp $\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x}$ và $e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ .

$\frac{\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x}}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.8

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.9

Kết hợp.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x \cdot x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.10

Nhân $x$ với $x^{2 - 5 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.10.1

Nhân $x$ với $x^{2 - 5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.10.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1} x^{2 - 5 x}}$

Bước 9.10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1 + 2 - 5 x}}$

Bước 9.10.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{3 - 5 x}}$

Bước 9.11

Nhân $(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ với $1$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$

Bước 9.12

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} (2 - 5 x - 5 x \ln (x))}{x^{3 - 5 x}}$