Giải tích Ví dụ

$y = \ln (e^{7 x} + 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = e^{7 x} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $e^{7 x} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 4]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 4]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $e^{7 x} + 4$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 4]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{7 x} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $7 x$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $7 x$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.3.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $e^{7 x}$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (7 \cdot e^{7 x} + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (7 e^{7 x} + 0)$

Bước 4.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Cộng $7 e^{7 x}$ và $0$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (7 e^{7 x})$

Bước 4.5.2

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{e^{7 x} + 4}$ .

$\frac{7}{e^{7 x} + 4} e^{7 x}$

Bước 4.5.3

Kết hợp $\frac{7}{e^{7 x} + 4}$ và $e^{7 x}$ .

$\frac{7 e^{7 x}}{e^{7 x} + 4}$