Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\cos^{2} (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\sec^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \sin (x)$

Bước 7.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Bước 7.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Bước 7.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Bước 7.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

Bước 7.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{\cos (x)} \sin (x)$

Bước 7.7

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{2}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$

Bước 7.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 7.9

Tách các phân số.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Bước 7.10

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$- (\frac{2}{1} \tan (x))$

Bước 7.11

Chia $2$ cho $1$ .

$- (2 \tan (x))$

Bước 7.12

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \tan (x)$