Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

$1 \frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Bước 3

Nhân $\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ với $1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 5 + e^{x}$ và $g (x) = 5 - e^{x}$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 5.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 5.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 7.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 7.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 7.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 7.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + 1 (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 7.5.2

Nhân $5 + e^{x}$ với $1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 9

Nhân $\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ với $\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}}$

Bước 10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đưa $5 - e^{x}$ ra ngoài $(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}$ .

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

Bước 10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Cộng $- e^{x} e^{x}$ và $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x} + 0}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Bước 11.3.1.2

Cộng $5 e^{x} + 5 e^{x}$ và $0$ .

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Bước 11.3.2

Cộng $5 e^{x}$ và $5 e^{x}$ .

$\frac{10 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$