Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\sinh (8 x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \sinh (8 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sinh (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sinh (8 x)$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sinh (x)$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $8 x$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sinh (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sinh (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cosh (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\cosh (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $8 x$ .

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\cosh (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\cosh (8 x)$ và $\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ .

$\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 3.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (8 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Kết hợp $8$ và $\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \cdot 1$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ với $1$ .

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8 \cosh (8 x)}{\sinh^{2} (8 x) + 1}$