Giải tích Ví dụ

$y = \frac{6 x}{3 - \cot (x)}$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{6 x}{3 - \cot (x)}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \cot (x)}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \cot (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 3 - \cot (x)$ .

$6 \frac{(3 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \frac{(3 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $3 - \cot (x)$ với $1$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - \cot (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cot (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.7.2

Nhân $x$ với $1$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 4

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$6 \frac{3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $6$ và $\frac{3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$ .

$\frac{6 (3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 \cdot 3 + 6 (- \cot (x)) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{18 + 6 (- \cot (x)) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{18 - 6 \cot (x) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{18 - 6 \cot (x) + 6 (- x \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.2.4

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{18 - 6 \cot (x) - 6 x \csc^{2} (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 6 x \csc^{2} (x) + 18 - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.4

Đưa $6$ ra ngoài $- 6 x \csc^{2} (x) + 18 - 6 \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $- 6 x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 18 - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.4.2

Đưa $6$ ra ngoài $18$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3) - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.4.3

Đưa $6$ ra ngoài $- 6 \cot (x)$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3) + 6 (- \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.4.4

Đưa $6$ ra ngoài $6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3)$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x) + 3) + 6 (- \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.4.5

Đưa $6$ ra ngoài $6 (- x \csc^{2} (x) + 3) + 6 (- \cot (x))$ .

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x) + 3 - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x)) + 3 - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.6

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 3) - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3) - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cot (x)$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3) - (\cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \csc^{2} (x) - 3) - (\cot (x))$ .

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.10

Viết lại $- (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))$ ở dạng $- 1 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))$ .

$\frac{6 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 6.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{6 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$