Giải tích Ví dụ

$y = \frac{9 x^{2} + 7}{x^{2} + 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 9 x^{2} + 7$ và $g (x) = x^{2} + 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7] - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{2} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $18 x$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $18$ sang phía bên trái của $x^{2} + 2$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.9

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 2.10.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 2) x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.2

Nhân $18$ với $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.4

Nhân $9$ với $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.1.5

Nhân $- 2$ với $7$ .

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 14 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Trừ $18 x^{3}$ khỏi $18 x^{3}$ .

$\frac{36 x + 0 - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.2.2

Cộng $36 x$ và $0$ .

$\frac{36 x - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 3.5.3

Trừ $14 x$ khỏi $36 x$ .

$\frac{22 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$