Giải tích Ví dụ

$y = \frac{8 x - 7}{3 x + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 8 x - 7$ và $g (x) = 3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [8 x - 7] - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{(3 x + 1) (8 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(3 x + 1) (8 + 0) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $8$ và $0$ .

$\frac{(3 x + 1) \cdot 8 - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $3 x + 1$ .

$\frac{8 \cdot (3 x + 1) - (8 x - 7) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - (8 x - 7) \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 2.12.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{8 (3 x + 1) - 3 (8 x - 7)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (3 x) + 8 \cdot 1 - 3 (8 x - 7)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (3 x) + 8 \cdot 1 - 3 (8 x) - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $8 (3 x) + 8 \cdot 1 - 3 (8 x) - 3 \cdot - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $8 (3 x)$ và $- 3 (8 x)$ .

$\frac{3 \cdot 8 x + 8 \cdot 1 - 3 \cdot 8 x - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Trừ $3 \cdot 8 x$ khỏi $3 \cdot 8 x$ .

$\frac{8 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $8 \cdot 1$ và $0$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{8 - 3 \cdot - 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 3$ với $- 7$ .

$\frac{8 + 21}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Cộng $8$ và $21$ .

$\frac{29}{{(3 x + 1)}^{2}}$