Giải tích Ví dụ

$y = e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Bước 2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 e^{x + 1}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

$2 e^{2 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + 0))$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $e^{x + 1}$ với $1$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$