Giải tích Ví dụ

$y = {\cos (7 x)}^{x}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${\cos (7 x)}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({\cos (7 x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (7 x)}^{x})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({\cos (7 x)}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (7 x))}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x \ln (\cos (7 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x \ln (\cos (7 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x \ln (\cos (7 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (\cos (7 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (7 x))] + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \cos (7 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (7 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (7 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{1}{\cos (7 x)} \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (7 x)}$ sang $\sec (7 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $7 x$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.2

Đạo hàm của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $- \sin (u_{3})$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $7 x$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.4

Nhân $- 7$ với $1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)) \cdot 1)$

Bước 7.6

Nhân $\ln (\cos (7 x))$ với $1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x)))) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$

Bước 8.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} x \sec (7 x) (- 7 \sin (7 x)) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$

Bước 8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 7 e^{x \ln (\cos (7 x))} x \sec (7 x) \sin (7 x) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$