Giải tích Ví dụ

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (\ln (2 x))$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \ln (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Bước 3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\frac{1}{u_{3}}$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2 x}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\frac{- 2}{2 x}$ và $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ và $\sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ .

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

Bước 5.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại $2 \cos (\ln (2 x))$ và $\sin (\ln (2 x))$ .

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $\sin (\ln (2 x))$ và $2$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

Bước 6.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

Bước 6.4

Rút gọn $2 \ln (2 x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

Bước 6.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

Bước 6.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$