Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\ln (x)}{x + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Kết hợp.

$\frac{x (1 + \frac{1}{x} - \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \cdot 1 + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.5

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $x$ .

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.8

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.10

Viết lại $- (x \ln (x) - x - 1)$ ở dạng $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(x + 1)}^{2}}$