Giải tích Ví dụ

$y = \ln ({(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{7}{4}}$ và $g (x) = 9 x^{6} + 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $9 x^{6} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {u_{2}}^{\frac{7}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $9 x^{6} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 6.2

Trừ $4$ khỏi $7$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7}{4} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 7

Kết hợp $\frac{7}{4}$ và ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x])$

Bước 8

Nhân $\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4}$ với $\frac{1}{{(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}}$ .

$\frac{7 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Bước 9

Di chuyển ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}} {(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Bước 10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân ${(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}}$ với ${(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Di chuyển ${(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{7}{4 ({(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4}} {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{7}{4}})} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Bước 10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{- \frac{3}{4} + \frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Bước 10.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{- 3 + 7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Bước 10.1.4

Cộng $- 3$ và $7$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{\frac{4}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Bước 10.1.5

Chia $4$ cho $4$ .

$\frac{7}{4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Bước 10.2

Rút gọn $4 {(9 x^{6} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} \frac{d}{d x} [9 x^{6} + 5 x]$

Bước 11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{6} + 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 12

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{6}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (9 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 14

Nhân $6$ với $9$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 15

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5 \cdot 1)$

Bước 17

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{7}{4 (9 x^{6} + 5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7}{4 (9 x^{6}) + 4 (5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Bước 18.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Nhân $9$ với $4$ .

$\frac{7}{36 x^{6} + 4 (5 x)} (54 x^{5} + 5)$

Bước 18.2.2

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{7}{36 x^{6} + 20 x} (54 x^{5} + 5)$

Bước 18.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{7}{36 x^{6} + 20 x} (54 x^{5} + 5)$ .

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{36 x^{6} + 20 x}$

Bước 18.4

Đưa $4 x$ ra ngoài $36 x^{6} + 20 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $36 x^{6}$ .

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5}) + 20 x}$

Bước 18.4.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $20 x$ .

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5}) + 4 x (5)}$

Bước 18.4.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (9 x^{5}) + 4 x (5)$ .

$(54 x^{5} + 5) \frac{7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$

Bước 18.5

Nhân $54 x^{5} + 5$ với $\frac{7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$ .

$\frac{(54 x^{5} + 5) \cdot 7}{4 x (9 x^{5} + 5)}$

Bước 18.6

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $54 x^{5} + 5$ .

$\frac{7 (54 x^{5} + 5)}{4 x (9 x^{5} + 5)}$