Giải tích Ví dụ

$y = \ln ({(3 - x)}^{\frac{3}{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = 3 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 - x$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 - x$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x])$

Bước 8

Nhân $\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Bước 9

Di chuyển ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Bước 10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ với ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Di chuyển ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Bước 10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Bước 10.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Bước 10.1.4

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Bước 10.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Bước 10.2

Rút gọn $2 {(3 - x)}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [3 - x]$

Bước 11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 12

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 13

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 14

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- 1 \cdot 1)$

Bước 16

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \cdot - 1$

Bước 16.2

Kết hợp $\frac{3}{2 (3 - x)}$ và $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2 (3 - x)}$

Bước 16.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{- 3}{2 (3 - x)}$

Bước 16.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2 (3 - x)}$