Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\log (x)}{1 + \log (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \log (x)$ và $g (x) = 1 + \log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 2

Đạo hàm của $\log (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \log (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 4

Đạo hàm của $\log (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{x \ln (10)}$ và $\log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 6

Để viết $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 7

Kết hợp $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ và $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 9

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 10

Kết hợp $\ln (10)$ và $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (10)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 11.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 12.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 13

Nhân $1 + \log (x)$ với $1$ .

$\frac{\frac{1 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 14

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 15

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 15.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 16

Viết lại $\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ ở dạng một tích.

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 17

Nhân $\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}$ với $\frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Logarit cơ số $10$ của $1$ là $0$ .

$\frac{1 + 0}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 18.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Bước 18.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Bước 18.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$