Giải tích Ví dụ

$y = \log_{3} (\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x}$ ở dạng ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{3} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{3} (x)$ và $g (x) = {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\log_{3} (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ và $g (x) = 2 x^{4} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 7.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{{(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 10

Di chuyển ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Bước 11

Nhân $\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}}$ với $\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Bước 12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 + 3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Bước 13.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Bước 14

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Bước 14.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Bước 16

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{4} - 6 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Bước 17

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{4}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Bước 18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Bước 19

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Bước 20

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 21

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \cdot 1)$

Bước 22

Nhân $- 6$ với $1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Bước 23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{(4 (2 x^{4}) + 4 (- 6 x)) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Bước 23.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4 (2 x^{4}) \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Bước 23.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.1

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Bước 23.3.2

Nhân $- 6$ với $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Bước 23.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)}$

Bước 23.5

Đưa $8 x \ln (3)$ ra ngoài $8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.5.1

Đưa $8 x \ln (3)$ ra ngoài $8 x^{4} \ln (3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) - 24 x \ln (3)}$

Bước 23.5.2

Đưa $8 x \ln (3)$ ra ngoài $- 24 x \ln (3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)}$

Bước 23.5.3

Đưa $8 x \ln (3)$ ra ngoài $8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Bước 23.6

Nhân $8 x^{3} - 6$ với $\frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$ .

$\frac{8 x^{3} - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Bước 23.7

Triệt tiêu thừa số chung của $8 x^{3} - 6$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (4 x^{3}) - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Bước 23.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Bước 23.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Bước 23.7.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.7.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 x \ln (3) (x^{3} - 3)$ .

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

Bước 23.7.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

Bước 23.7.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x^{3} - 3}{4 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$