Giải tích Ví dụ

$y = \log_{5} (\sqrt{7 x + 9})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7 x + 9}$ ở dạng ${(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{5} (x)$ và $g (x) = {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\log_{5} (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 7 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $7 x + 9$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $7 x + 9$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(7 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(7 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 10

Di chuyển ${(7 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Bước 11

Nhân $\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Bước 12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Bước 13.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Bước 14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Bước 14.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Bước 16

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 17

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 19

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (7 + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 20

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (7 + 0)$

Bước 21

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Cộng $7$ và $0$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} \cdot 7$

Bước 21.2

Kết hợp $\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)}$ và $7$ .

$\frac{7}{2 (7 x + 9) \ln (5)}$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7}{(2 (7 x) + 2 \cdot 9) \ln (5)}$

Bước 22.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7}{2 (7 x) \ln (5) + 2 \cdot 9 \ln (5)}$

Bước 22.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.3.1

Nhân $7$ với $2$ .

$\frac{7}{14 x \ln (5) + 2 \cdot 9 \ln (5)}$

Bước 22.3.2

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{7}{14 x \ln (5) + 18 \ln (5)}$